吉布斯现象的简介

相信现在大一学高数(下)的学生应该已经开始和傅里叶级数作斗争了吧,估计大家都会抱怨其积分太复杂,但是我相信有作图软件的同学,应该已经尝试过用三角函数来逼近一些周期函数了。细心的同学应该已经发现了这个现象:将具有不连续点的周期函数进行傅立叶级数展开后,选取有限项进行合成。当选取的项数越多,在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时,该峰值趋于一个常数,大约等于总跳变值的9%。这个就叫做Gibbs现象。

这个现象是不能因为阶数增加而减弱的,只会让峰值点更加接近跳变点。这里给出一个不太严谨的证明:

首先,为了方便计算,我们取方波为例,然后呢,我们把周期不断增大,最后呢,就会变成阶跃函数,阶跃函数的定义很简单,就是宗量(自变量)为负的时候值为0,否则为1。但很显然,这东西不是周期的,或者说周期无穷大。那肯定有同学要问了,这种非周期函数怎么能有傅里叶级数呢?其实,我们把周期趋向于无穷大的时候,两个相邻频率之间的差值,即基频1/T也在不断减少直至零,也就是说当周期趋向于无穷的时候,他的频谱也变成了连续谱。其实如果我们再深入一点就可以得到傅里叶变换的定义了。如果我们有一个函数的傅里叶变换,对它的频域以1/T的间隔抽样,得到的就是这个函数以T为周期进行周期延拓之后的傅里叶级数。而我们取前有限项的过程,就可以变成一个理想的低通滤波,只保留频率小于Wc的量,其余的全部变为0,推导如图。可以得到gibbs现象的结果。

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

© 2022 亚博app英超买球的首选_官网 - WordPress Theme by WPEnjoy